A First Course in Modular Forms

I purchased this text as a companion with Koblitz to get a sense of modular forms and elliptic curves beyond Silverman and Tate. So far the first 3 chapters are a good fit with the other two texts. It is slow going but worth the effort.I also especially want to commend Amazon for providing this text in the Print Replica format which preserves the appearance of the mathematical content without the many unsatisfactory artifacts that occur when the usual Kindle/mobi format is used for technical material.

Beautiful book. A pleasure to read and fairly accessible.

The cover of this book looks like it is from the publisher, but the internal pages are all misprinted and of cheap quality. This is likely a copyright/publishing violation.

a first step towards Wiles proof of the great Fermat theorem; the path followed was a tortuous one...

Excellent book

Best introductory book on the topic!

this book only assumes complex analysis and simple group theory, yet manages to cover surprisingly many modern results in the theory of modular forms. the first 4 chapters present the basics, as covered in any intro to modular forms. but chapter 5 is a readable account of atkin-lehner theory from the '70s. although it's not discussed in this book, this theory leads directly into p-adic modular forms, an active topic in current number theory research. this is the first place i've seen all these results set out in one place. the proofs are similar in style to those in joe silverman's books on elliptic curves, although they are perhaps little more terse in this book (which i prefer). some of the material is presented in (actually!) straightforward exercises, for which there are ample hints at the back.i haven't read the the second half of the book yet, but apparently it aims to "explain" the modularity theorem. i don't know what they put in and what they leave out, but at the very least it seems like it would be a good starting place if you want to find out about L-functions, another important topic in current number theory research.there's the odd bamboozling typo, but that's pretty standard for the springer GTM's, but other than that it's very solid, and i would say the perfect companion to silverman's books, as the starting point in a number theory/arithmetic geometry library,

Bachmann and Kaneko have recently discovered that the Riemann Zeta-Function at the odd integers greater than one can be expressed in terms of modular forms. They proved that zeta(3) is explicitly equal to a zeta-function of two variables. Integration of Jensen's global integral representation of the zeta-function at z=2n+1 (n>0) yields a first term of powers of 2pi muliplied by B(k), 0<k<=n, the kth Bernoulli number, and divided by factorials plus a second term which is a Schlömilch series. The latter's sum can be calculated exactly by solving an integral equation whose solution is an Appell-Lauricella hypergeometric function of 2 variables. I bought the book to find out the connection between modular forms and the Appell-Lauricella hypergeometric functions.

複素上半平面上の保型形式である「モジュラー形式」の教科書は数多く存在するが、本書はそれらの中でも極めてユニークな一冊である。モジュラー群SL(2,Z)の合同部分群（一般的にΓと記す。以下では、Γ(N)、Γ1(N) 、Γ0(N)、の何れかと考えてよい）に関するモジュラー形式の理論が詳述されていること、「有理数体Q上の楕円曲線Eはモジュラーである」という「モジュラリティー定理」（「志村-谷山予想」の肯定的解決）の意義がそれと同値である幾つかの定理の解説を通して明示されていること、この二点が他書に見られない本書の大きな特徴と言える。本書は大きく二つの部分に分かれ、前半の第5章までで合同部分群に関するモジュラー形式の理論が本格的に展開され、後半の第6章以降の四つの章で「モジュラリティー定理」に関わる構成要素が初学者にも理解できる形で明快に解説されている。本書を通読して印象に残ったことや気付いたことなどを以下に述べてみたい。前半部では、合同部分群に関するモジュラー形式の解説が素晴らしい。モジュラー曲線X(Γ)の閉リーマン面としての局所座標系導入の詳細な叙述、合同部分群Γに関する重さkのモジュラー形式の空間Mk(Γ)とカスプ形式の空間Sk(Γ)の次元公式の解説、重さkのアイゼンシュタイン空間Εk(Γ1(N))とカスプ形式の空間Sk(Γ1(N))の基底の具体的な構成に関する叙述、ヘッケ作用素の同値な定義（四つある）の詳しい解説、などをカバーする「モジュラー形式の入門書」として、本書より優れた書を見出すことは難しい。後半部では、モジュラー形式、楕円曲線、ガロア表現などとモジュラリティー定理との関わりが標語として挙げられるが、ヘッケ作用素が隠れた主役として躍動していることに注目したい。第6章では、ヘッケ作用素がモジュラー曲線X(Γ)のヤコビ多様体Jac(Γ) (=Jac(X(Γ))上の作用素を誘導するという事実を理解することが大切で、ヘッケ作用素の重さ2の固有カスプ形式 f（newformから取れる）に付随するアーベル多様体Afの定義（6.6.3）にもヘッケ環でのfのannihilatorであるIfが現れており、「モジュラー・ヤコビ多様体Jac(Γ)はこのような形（注：固有形式 fのレベルは対象とする合同部分群Γのレベルの約数である）のアーベル多様体の直和と同種である」という志村先生による重要な結果に繋がっていることが分かる。第7章では、（標数0の）体k上の非特異射影代数曲線Cとその有理関数体k(C)との対応関係、特にモジュラー曲線の関数体の構造定理（7.5節、7.7節）、などの説明を経て、モジュラー曲線とヘッケ作用素が有理数体Q上で定義できることが示されている。第8章では、閉リーマン面Xのヤコビ多様体Jac(X)はXの0次ピカール群Pic0(X)と同型であり同一視できることから、モジュラー曲線X(Γ)が法pで良い還元を持つ場合、X(Γ)の0次ピカール群Pic0(X(Γ))上のヘッケ作用素Tpが、還元されたモジュラー曲線X(Γ)~（~は上付き）の0次ピカール群Pic0(X(Γ)~)にどの様に作用するかを記述する「アイヒラー-志村関係式」（フロべニウス写像で記述される）が詳述されている。この関係を図示する8.7節(p.358)の可換図は、本書で最も重要な図式の一つと言える。これらを用いて、Q上の楕円曲線E（導手はN）のハッセ-ヴェイユL関数L(s,E)に対し、S2(Γ0(N))に属するヘッケ・カスプ形式 f（newform）が存在し、そのL関数L(s,f)はL(s,E)に一致するというL関数版のモジュラリティー定理（定理8.8.3）が解説されている。最終第9章では、Q上の楕円曲線Eのl-進Tate加群（= lのべき乗の等分点たちがなすEの部分加群の射影極限）への絶対ガロア群G（= Gal(Q-/Q)）の作用から、l-進体Ql上の2次ガロア表現 ρE,l: G→GL(2,Ql)が導入され、「この表現ρE,lがモジュラー表現となる、即ちS2(Γ0(Mf))に属するfに付随する2次ガロア表現と同値であるような素数lが存在する」というガロア表現版のモジュラリティー定理（定理9.6.2、Version R）に言及して本書は締め括られている。本書ではモジュラリティー定理の証明そのものには触れられておらず、実際に確立された証明はガロア表現版に対するものであり、素数lが3か5の場合にρE,3、ρE,5の何れかがモジュラーであることを示すことにより定理が証明されている点に注意したい。また、「導手NのQ上の楕円曲線Eはモジュラー曲線X0(N)によりパラメトライズされる」、即ち全射となる射X0(N)→Eが存在するという主張は、Jac(X0(N))の真部分アーベル多様体Aによるヤコビ商A’= Jac(X0(N))/Aの次元が１のとき、A’はQ上の楕円曲線になるので、A’を経由する二つの射（ともに全射）X0(N)→A’→Eの存在と同等であることにも注意したい。本書を読み終えて感じるのは、この分野における志村先生とA. Wilesの業績の素晴らしさである。モジュラリティー定理を正確な予想として初めて定式化されたのは志村先生であり、モジュラー・ヤコビ多様体のアーベル多様体への分解やヘッケ作用素の法pでの還元に関する関係式を見出されたのも志村先生である。今まで本書を読んだことが無かったので、志村先生のテキスト『Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions』（Shi71と記す）をこの分野を学習したい愛好家の方々に推薦することにためらいがあった。高度の専門書であるShi71への敷居を本書がかなり低くしているので、（全部でなくても分かる所だけでも）Shi71を併読されることをお薦めしたい。当時（1980年代半ば）挑戦する研究者がなかった「志村-谷山予想」に果敢に挑戦し、その解決への道を大きく切り開いたA. Wilesの業績の素晴らしさはやはり特筆すべきものである。完全証明までは述べられていないが、斉藤 毅『フェルマー予想』が優れた参考書であり、あわせて参照されると得るものが多いであろう。本書の二名の著者の学位指導者がA. Wilesと志村先生であったことを本書の裏表紙で知り、「むべなるかな」と嬉しい気分に浸ることができた。

good

Nice book and I recommend it for a beginner in Modular Forms, with a more algebraic view. I got it on time but I live in UK.

Rating not based on mathematical content. The printing quality is very poor - it feels as though it's printed on newspaper.